De quantes maneres diferents puc pagar? (divisibilitat)

Una activitat ja clàssica, o passada de moda, amb l'aparició del correu electrònic,  és la de franquejar una carta amb els segells necessaris per a obtenir l'import necessari, tenint en compte que hi ha segells de diferents preus.

Transum ens regala una calculadora virtual associada a aquest problema en la versió en que demana amb quants segells de 3p  i de 8p es pot  franquejar una carta que val 73p

http://www.transum.org/software/SW/Starter_of_the_day/starter_July8.asp

Després planteja l'activitat, en la que cal arrossegar els segells a cadascuna de les cartes. Com es veu a la imatge la de 33p l'han aconseguit pensant que són tres cops 3+8 (o, onze cops 3). Per aconseguir 52, hauran de trobar quina suma d'un múltiple de 8 i un múltiple de 3 dóna 52, etc

http://www.transum.org/software/SW/Starter_of_the_day/Stamps/Default.asp

Aquesta activitat és "filla" de la plantejada al magnífic llibret d'activitats "Investigando las Matemáticas (2)" de R. Fisher i A. Vince (original del 1988 i traducció del 1990), actualment descatalogat.

Altres propostes relacionades

En el post Matemàtiques anant per carrer (1) del blog del PuntMat, es presenten activitats semblants a aquesta, algunes d'elles incorporen també  applets

Comentari final

En el post, "de quantes maneres puc pagar (descomposicions)" es tracta el mateix problema des d'una perspectiva molt allunyada de la divisibilitat, degut a que un dels "segells" té valor 1, per tant es pot aconseguir qualsevol nombre.

Cares acolorides II

Coloring Polyhedra with Four Colors

Si volem pintar poliedres de manera que en una mateixa aresta no coincideixen dues cares del mateix color i el poliedre és simplement connex ("si no té forats") tindrem prou amb quatre colors diferents. Aquest applet ens permet experimentar amb aquest interessant problema mitjançant relacions entre el poliedre i el seu desenvolupament:

http://demonstrations.wolfram.com/ColoringPolyhedraWithFourColors/ 

Minimalitat

Quants colors necessito com a mínim en cada cas?

• Si els poliedres són prismes o piràmides amb un polígon de n costats com a base
• amb n parell: necessitem 3 colors (un per a les bases i dos per a les cares laterals) 
• amb n senar: necessitem 4 colors (un per a les bases i tres per a les cares laterals) 
• Si els poliedres són bipiràmides amb un polígon de n costats com a "base"
• amb n parell: necessitem 2 colors
• amb n senar: necessitem 3 colors  
• Si els poliedres són antiprismes amb un polígon de n costats com a base, necessitem 2 colors (un per a la base "inferior" i tots els triangles que només tenen un vèrtex de contact amb ella i un per a la base "superior" i tots els altres triangles)   
• Si els poliedres són regulars
• el tetraedre i el dodecaedre necessiten 4 colors
• el cub i l’icosaedre en necessiten 3 
• l’octaedre, atenent a que és un antiprisma, només en necessita 2 (aquestes 5 solucions es poden veure aquí)
• Si els poliedres són regulars les solucions es poden veure aquí

Al mmaca ens proposen un repte en relació a l'icosaedre escapçat:

  

Cares arestes i vèrtexs (2a Part)

Mentre que en la primera part de Cares, arestes i vèrtexs ens centràvem en el comptatge d'aquests tres elements fonamentals dels poliedres, en aquesta segona part ens centrem en la identificació d'aquests elements en els desenvolupaments dels mateixos poliedres.

Arestes
Aquí presentem un parell d'applets proposats a la "Biblioteca de Manipulables Virtuales de Matemáticas" del blog Didactmatic del J. Garcia Moreno que permet treballar la identificació d'una mateixa aresta d'un poliedre en el seu desenvolupament pla. 

http://dl.dropboxusercontent.com/u/44162055/manipulables/geometria/desarrollos1.swf

http://dl.dropboxusercontent.com/u/44162055/manipulables/geometria/poliplatonicos.swf

Trobem que aquest tipus de tasques repten a l'usuari a visualitzar la relació entre el cos tridimensional i la seva representació plana en un sentit ample i particularment, treballa una habilitat indispensable si volem comptar cares, arestes i vèrtex d'un poliedre a partir del seu desenvolupament pla. En aquest sentit, ja havíem esmentat en un post del blog del Puntmat (Més sobre representacions planes d'objectes tridimensionals) els applets que presentem avui.

Cares

Aquí presentem alguns applets que focalitzen en la identificació de cares a partir de la seva posició relativa:

• un applet del projecte "Starter of the day" Transum que proposa petites activitats motivadores per començar les classes de matemàtiques 

http://www.transum.org/software/SW/Starter_of_the_day/Students/Hot/Dice_Numbers.asp 

• un parell d'applets del Wolfram Demostrations Project (un dels quals ja havíem esmentat al post Desenvolupament de poliedres del blog del Puntmat)

http://demonstrations.wolfram.com/FindTheOppositeFace/

http://demonstrations.wolfram.com/DeduceTheNetForADiesNet/