Cares acolorides II

Coloring Polyhedra with Four Colors

Si volem pintar poliedres de manera que en una mateixa aresta no coincideixen dues cares del mateix color i el poliedre és simplement connex ("si no té forats") tindrem prou amb quatre colors diferents. Aquest applet ens permet experimentar amb aquest interessant problema mitjançant relacions entre el poliedre i el seu desenvolupament:

http://demonstrations.wolfram.com/ColoringPolyhedraWithFourColors/ 

Minimalitat

Quants colors necessito com a mínim en cada cas?

• Si els poliedres són prismes o piràmides amb un polígon de n costats com a base
• amb n parell: necessitem 3 colors (un per a les bases i dos per a les cares laterals) 
• amb n senar: necessitem 4 colors (un per a les bases i tres per a les cares laterals) 
• Si els poliedres són bipiràmides amb un polígon de n costats com a "base"
• amb n parell: necessitem 2 colors
• amb n senar: necessitem 3 colors  
• Si els poliedres són antiprismes amb un polígon de n costats com a base, necessitem 2 colors (un per a la base "inferior" i tots els triangles que només tenen un vèrtex de contact amb ella i un per a la base "superior" i tots els altres triangles)   
• Si els poliedres són regulars
• el tetraedre i el dodecaedre necessiten 4 colors
• el cub i l’icosaedre en necessiten 3 
• l’octaedre, atenent a que és un antiprisma, només en necessita 2 (aquestes 5 solucions es poden veure aquí)
• Si els poliedres són regulars les solucions es poden veure aquí

Al mmaca ens proposen un repte en relació a l'icosaedre escapçat: