De quantes maneres diferents puc pagar? (divisibilitat)

Una activitat ja clàssica, o passada de moda, amb l'aparició del correu electrònic,  és la de franquejar una carta amb els segells necessaris per a obtenir l'import necessari, tenint en compte que hi ha segells de diferents preus.

Transum ens regala una calculadora virtual associada a aquest problema en la versió en que demana amb quants segells de 3p  i de 8p es pot  franquejar una carta que val 73p

http://www.transum.org/software/SW/Starter_of_the_day/starter_July8.asp

Després planteja l'activitat, en la que cal arrossegar els segells a cadascuna de les cartes. Com es veu a la imatge la de 33p l'han aconseguit pensant que són tres cops 3+8 (o, onze cops 3). Per aconseguir 52, hauran de trobar quina suma d'un múltiple de 8 i un múltiple de 3 dóna 52, etc

http://www.transum.org/software/SW/Starter_of_the_day/Stamps/Default.asp

Aquesta activitat és "filla" de la plantejada al magnífic llibret d'activitats "Investigando las Matemáticas (2)" de R. Fisher i A. Vince (original del 1988 i traducció del 1990), actualment descatalogat.

Altres propostes relacionades

En el post Matemàtiques anant per carrer (1) del blog del PuntMat, es presenten activitats semblants a aquesta, algunes d'elles incorporen també  applets

Comentari final

En el post, "de quantes maneres puc pagar (descomposicions)" es tracta el mateix problema des d'una perspectiva molt allunyada de la divisibilitat, degut a que un dels "segells" té valor 1, per tant es pot aconseguir qualsevol nombre.

Joc de divisors

Factor Game

Joc de divisors (on convé saber trobar tots els divisors). En la seva primera versió, el tauler era fix i de l'1 al 30 que és una bona mida per fer el joc interessant. La seva última actualització permet triar la mida del tauler de joc, el que permet començar per taulers petits per anar familiaritzar-se amb les primeres estratègies

El primer jugador tria un nombre i guanya tants punts com el nombre que ha triat. i el segon jugador ha d'escriure tots els seus divisors i guanya tats punts com la seva suma. Si se'n deixa algun la màquina l'informa. Després es canvien les tornes. A mesura que els nombres són utilitzats queden marcats sobre el tauler i ja no es poden utilitzar més. Guanya qui suma més punts

 

Per què aquest applet?

• Per exercitar el càlcul de divisors d'un nombre, i motivar a buscar una estratègia de recerca que faci que no se'n deixin cap.
• Per aplicar les propietats dels nombres a l'estratègia a utilitzar per jugar: què es millor jugar un nombre primer, un de quadrat? en quin moment
• Per a parlar i utilitzar nombres abundants: la suma dels seus divisors propis és més petita que el nombre, deficients: la suma de divisors és inferior, o perfectes: la suma és la mateixa.

Informació al Puntmat

Tant a divisors i pensament exhaustiu, com a applets de divisibiltat, hi trobareu més informació sobre aquest applets i altres activitats relacionades amb el tema.

Preguntes clau

• Per quin nombre has de començar la partida, perquè?
• (en un moment de la partida) fer una foto de pantalla i justificar el nombre que has triat 
• Com ens ho podem fer per no deixar-se cap divisor?. Segurament dir els divisors "per parells" o "mirall" el 2 amb el 24 el 3 amb el 16 ... (en el cas del 48)

Informació complementària
Un altre applet amb un joc semblant a l'anterior pero més difícil

En l'applet següent s'han de tatxar tots els divisors del nombre indicat (53) o del resultant de canviar l'ordre de les seves xifres (35) cal triar quin és més interessant per a tu, tenint en compte que guanyaràs tants punts com la suma dels divisors tatxats. Per tant, en cada jugada l'estratègia òptima és enumerar tots els divisors dels dos nombres possibles i avaluar la seva suma. Val a dir que quan oblides tatxar algun divisor l'applet et renya!

buscar un número

Largest Even i Dozen
Són dos applets de la pàgina de l'nrich que responen a la filosofia de la pràctica productiva. El primer treballa aspectes de paritat (parells - senars) i el segon criteris de divisibilitat.

Largest Even

Un applet per ser portat a classes de cicle inicial o mitjà, i es tracta d'aconseguir el nombre més alt de dues xifres. El presentem a partir d'una seqüencia realitzada per un alumne.

• Es pot triar parell o senar, un cop triat "New dígit" genera un nombre d'una xifra. En el cas de la imatge  ha estat el 5
• L'usuari ha triat el 9 per construir el 95, que si bé és un nombre alt no és parell

http://nrich.maths.org/7431

L'usuari rectifica i canvia l'orde posant el 59, que tampoc és parell

Finalment troba la solució demanada

 Per què aquest applet?

• És una molt bona activitat de pràctica productiva ja que el seu objectiu és trobar el nombre més gran, però s'està treballant paral·lelament la idea de parell i senar
• Es pot anar més enllà plantejant que donin instruccions a un robot perquè resolgui de manera correcte aquest tipus de situacions: La tercera pregunta clau planteja el que volem dir

Preguntes clau

• Si el nombre es que genera es parell i has d'aconseguir el parell més gran quin nombre entraries? què faries després, com els ordenaries?
• I en cas que el nombre que genera sigui senar?
• Sabries escriure les instruccions perquè un robot pogués sortir-se'n sempre ?

Dozens
Amb la mateixa idea trobem un altre applet per a cicle superior de Primària i ESO, en aquest cas el que es treballa es divisibilitat

 http://nrich.maths.org/559

• Triar el nombre sobre el que buscar els seus múltiples, les opcions són 2,3,4 i 6.
• Després l'applet genera dues xifres 
• Cal trobar el nombre de tres xifres més gran possible que sigui múltiple del triat.

Comentaris
Un cop conegut el joc, podem proposar una activitat: jugar un altre cop i demanar que redactin el procés que han seguit per a triar el nombre. Amb el 4 i el 6 les situacions que es creen poden ser interessants.
Per exemple podríem plantejar la situació col·lectivament en pantalla,  que els alumnes treballant per grups ho resolguin i finalment comprovar les diferents propostes en pantalla de manera col·lectiva

Tot i així es perd la interactivitat i és un treball "dinàmicament" completament diferent al que es produeix quan es fa amb l'applet. Depen del vostre objectiu triareu una opció o l'altre.

Transvasament de líquids

A continuació hi ha tres applets relacionats amb el famós problema de com mesurar una quantitat entera de litres d'aigua quan només es disposen de dos recipients de capacitat coneguda (per exemple, 5 i 9L)   

http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_273_g_2_t_4.html 

http://pbskids.org/cyberchase/games/hardproblems/ 

http://www.transum.org/Software/Investigations/jugs.asp
(a la part inferior es pot variar la capacitat de les gerres)

http://www.mathsatplantsbrook.co.uk/Primary/Puzzles/qtn_jugs.swf

Comentaris:

• Al blog del Joan Jareño hi ha una fantàstica entrada (amb animacions interactives) relacionada amb aquest mateix problema: Problemes de garrafes 
• A la pel·lícula "Difícil de matar: La venjança" protagonitzada per Bruce Willis (1995) apareix aquest joc amb recipients disponibles de 3 i 5 galons amb els que el protagonista ha d'obtenir 4 galons. I, sobre tot, val la pena mirar la paròdia que en fan Cruz y Raya.
• Platejat el problema a alumnes de Cicle Superior de Primària va resultar molt interessant la discussió de bones maneres de representar les etapes seguides per arribar a la solució. En aquest cas ho vam fer en format còmic, encara que val a dir que no els va ser fàcil d'entrada, els va costar bastant.
• Es pot aprofundir sobre aquest problema a  Jug Problem, Water-Pouring Problem o The Three Jugs Problem  

Factors Line

Es tracta d'un applet per practicar múltiples i divisors que demana les diferents possibilitats de col·locar alguns nombres (en el cas de la imatge 1,2,3 i 21) sobre cel·les diferents de la graella de manera que:

• cada nombre va sobre un cel·la que té un múltiple o un divisor del nombre
• les cel·les estan alineades i sense espais entre elles en horitzontal, vertical o diagonal

http://nrich.maths.org/1138

 El botó d'edició permet modificar:

•  la quantitat de nombres que s’han de posar en línia (Line length). Per exemple: 
• quan es tria 4: les línies han de ser de 4 elements: un múltiple d’1, un múltiple o divisor de 2, un múltiple o divisor de 3 i un múltiple o divisor de 21    
• quan es tria 5: les línies han de ser de 4 elements: dos múltiples  d’1, un múltiple o divisor de 2, un múltiple o divisor de 3 i un múltiple o divisor de 21  
• la mida de la graella ja que el nombre de files i columnes poden variar des de 3 a 12 (Rows & Columns)

El gran problema amagat sota aquest joc és esbrinar quantes solucions diferents hi ha. A l’apartat de solucions de la pàgina del Nrich es troba un estudi de les solucions possibles quan es treballa amb la graella de 5 files i 5 columnes.

Aquí es veu una solució i dues línies vermelles que representen dues solucions trobades anteriorment 

Val la pena destacar que l'applet compta com a diferents dos solucions que utilitzen les mateixes cel·les però cobertes per diferents nombres. Per exemple: una solució és col·locar  l’1 al 4, el 2 al 2, el 3 al 3 i el 21 a l’1  i una altra diferent  l’1 al 4, el 2 al 2, el 3 a l'1 i el 21 al 3. 

Joc de productes

Applet per a dos jugadors (o contra la màquina) en el que cal fer quatre en ratlla. Treballa les taules de multiplicar de manera inversa. Donat un nombre ha de buscar dos factors, i marcar-los a la línia inferior. Una fitxa del color del jugador taparà el nombre del tauler si ho ha fet bé, o un altre si ho ha fet malament.

1. El primer jugador tria dos nombres de la barra inferior movent els cursors i el seu producte s'il·lumina a la pantalla 
2. El segon jugador solament pot moure un dels dos nombres de la barra per definir el seu nombre. Aquesta  característics aporta un component estratègic interessant.

Permet canviar les condicions de joc, tant els factors implicats, com la quantitat de nombres que cal posar en línia per guanyar.

L'applet al bloc del Puntmat

• Podeu trobar informació més detallada en el post applets de divisibilitat, conjuntament amb d'altres applets del tema
• També a divisors i pensament exhaustiu bàsicament enfocat  dedicat a divisibilitat

Per què aquest applet?
A cicle mitjà repassar les taules de multiplicar partint del resultat
A cicle superior exercitar la descomposició en factors de nombres (canviant els valors inicials de la barra inferior, l'applet ho permet) ) 

Preguntes clau
Analitzar situacions concertes de la partida per anar descobrint estratàgies eficients, per exemple: veient la situació en aquest moment:

1. Quins serien el millors nombres a triar en una situació determinada?
2. Quin paper juguen els nombres que tenen més d'una resposta, per exemple el 36 (9x4 i 6x6)? Triar-lo té avantatges, o al contrari?
3. Quines estratègies  utilitzes per a guanyar? és a dir. com li pots fer "la punyeta" al contrari? (una d'important és, en el cas que estigui en situació guanyadora, no deixar-li cap factor del nombre que li falta per acabar

Comentaris

• Tot i ser un applet es pot convertir fàcilment en un joc de taula manipulatiu: la figura de l'esquerra és la imatge d'una materialització feta pels alumnes de magisteri musical a l'assignatura de didàctica de les matemàtiques a la UAB. Les boles de la línia inferior serveixen per a indicar el producte triat, en aquest cas 4x8,  fent-les lliscar pel cordill.

• S'aconsella jugar entre parelles, ja que preveure les possibilitats de l'altre i organitzar la teva es complex.
• L'enllaç al joc ofereix informació exhaustiva sobre les possibilitats i posada en pràctica d'aquest applet

Configuració d'entrades Etiquetes divisibilitat, illuminations, jocs, materialitzacions, primària c.mitjà, primària c.superior Publicat a 27/11/13 16:26 Central European Time Enllaç permanent Ubicació Opcions Envia la teva opinió

De quantes maneres puc pagar? (divisibilitat)

Una activitat ja clàssica, o passada de moda, amb l'aparició del correu electrònic,  és la de franquejar una carta amb els segells necessaris per a obtenir l'import necessari, tenint en compte que hi ha segells de diferents preus.

Transum ens regala una calculadora virtual associada a aquest problema en la versió en que demana amb quants segells de 3p  i de 8p es pot  franquejar una carta que val 73p

http://www.transum.org/software/SW/Starter_of_the_day/starter_July8.asp

Després planteja l'activitat, en la que cal arrossegar els segells a cadascuna de les cartes. Com es veu a la imatge la de 33p l'han aconseguit pensant que són tres cops 3+8 (o, onze cops 3). Per aconseguir 52, hauran de trobar quina suma d'un múltiple de 8 i un múltiple de 3 dóna 52, etc

http://www.transum.org/software/SW/Starter_of_the_day/Stamps/Default.asp

Aquesta activitat és "filla" de la plantejada al magnífic llibret d'activitats "Investigando las Matemáticas (2)" de R. Fisher i A. Vince (original del 1988 i traducció del 1990), actualment descatalogat.

Altres propostes relacionades

En el post Matemàtiques anant per carrer (1) del blog del PuntMat, es presenten activitats semblants a aquesta, algunes d'elles incorporen també  applets

Comentari final

En el post, "de quantes maneres puc pagar (descomposicions)" es tracta el mateix problema des d'una perspectiva molt allunyada de la divisibilitat, degut a que un dels "segells" té valor 1, per tant es pot aconseguir qualsevol nombre.

Identificació de nombres primers

Relacionat amb el post Els primers nombres primers presentem aquí alguns applets que col·laboren en la identificació d'aquests nombres.

Un puzle per organitzar els 100 primers nombres primers:

http://www.transum.org/Maths/Activity/Jigsaw/Numbers.asp?Level=10 

Un laberint que podem recòrrer només passant de nombre primer en nombre primer:

http://www.transum.org/Software/Puzzles/Prime_Labyrinth.asp

Un problema relacionat amb la conjectura Goldbach que estableix la possibilitat d'escriure tot nombre parell com a suma de dos nombres primers:

http://nautilus.fis.uc.pt/mn/goldbach/index.html

La conjectura de Goldbach apareix a "La habitación de Fermat"