De quantes maneres diferents puc pagar? (divisibilitat)

Una activitat ja clàssica, o passada de moda, amb l'aparició del correu electrònic,  és la de franquejar una carta amb els segells necessaris per a obtenir l'import necessari, tenint en compte que hi ha segells de diferents preus.

Transum ens regala una calculadora virtual associada a aquest problema en la versió en que demana amb quants segells de 3p  i de 8p es pot  franquejar una carta que val 73p

http://www.transum.org/software/SW/Starter_of_the_day/starter_July8.asp

Després planteja l'activitat, en la que cal arrossegar els segells a cadascuna de les cartes. Com es veu a la imatge la de 33p l'han aconseguit pensant que són tres cops 3+8 (o, onze cops 3). Per aconseguir 52, hauran de trobar quina suma d'un múltiple de 8 i un múltiple de 3 dóna 52, etc

http://www.transum.org/software/SW/Starter_of_the_day/Stamps/Default.asp

Aquesta activitat és "filla" de la plantejada al magnífic llibret d'activitats "Investigando las Matemáticas (2)" de R. Fisher i A. Vince (original del 1988 i traducció del 1990), actualment descatalogat.

Altres propostes relacionades

En el post Matemàtiques anant per carrer (1) del blog del PuntMat, es presenten activitats semblants a aquesta, algunes d'elles incorporen també  applets

Comentari final

En el post, "de quantes maneres puc pagar (descomposicions)" es tracta el mateix problema des d'una perspectiva molt allunyada de la divisibilitat, degut a que un dels "segells" té valor 1, per tant es pot aconseguir qualsevol nombre.

Cares acolorides II

Coloring Polyhedra with Four Colors

Si volem pintar poliedres de manera que en una mateixa aresta no coincideixen dues cares del mateix color i el poliedre és simplement connex ("si no té forats") tindrem prou amb quatre colors diferents. Aquest applet ens permet experimentar amb aquest interessant problema mitjançant relacions entre el poliedre i el seu desenvolupament:

http://demonstrations.wolfram.com/ColoringPolyhedraWithFourColors/ 

Minimalitat

Quants colors necessito com a mínim en cada cas?

• Si els poliedres són prismes o piràmides amb un polígon de n costats com a base
• amb n parell: necessitem 3 colors (un per a les bases i dos per a les cares laterals) 
• amb n senar: necessitem 4 colors (un per a les bases i tres per a les cares laterals) 
• Si els poliedres són bipiràmides amb un polígon de n costats com a "base"
• amb n parell: necessitem 2 colors
• amb n senar: necessitem 3 colors  
• Si els poliedres són antiprismes amb un polígon de n costats com a base, necessitem 2 colors (un per a la base "inferior" i tots els triangles que només tenen un vèrtex de contact amb ella i un per a la base "superior" i tots els altres triangles)   
• Si els poliedres són regulars
• el tetraedre i el dodecaedre necessiten 4 colors
• el cub i l’icosaedre en necessiten 3 
• l’octaedre, atenent a que és un antiprisma, només en necessita 2 (aquestes 5 solucions es poden veure aquí)
• Si els poliedres són regulars les solucions es poden veure aquí

Al mmaca ens proposen un repte en relació a l'icosaedre escapçat: