De quantes maneres diferents puc pagar? (divisibilitat)

Una activitat ja clàssica, o passada de moda, amb l'aparició del correu electrònic,  és la de franquejar una carta amb els segells necessaris per a obtenir l'import necessari, tenint en compte que hi ha segells de diferents preus.

Transum ens regala una calculadora virtual associada a aquest problema en la versió en que demana amb quants segells de 3p  i de 8p es pot  franquejar una carta que val 73p

http://www.transum.org/software/SW/Starter_of_the_day/starter_July8.asp

Després planteja l'activitat, en la que cal arrossegar els segells a cadascuna de les cartes. Com es veu a la imatge la de 33p l'han aconseguit pensant que són tres cops 3+8 (o, onze cops 3). Per aconseguir 52, hauran de trobar quina suma d'un múltiple de 8 i un múltiple de 3 dóna 52, etc

http://www.transum.org/software/SW/Starter_of_the_day/Stamps/Default.asp

Aquesta activitat és "filla" de la plantejada al magnífic llibret d'activitats "Investigando las Matemáticas (2)" de R. Fisher i A. Vince (original del 1988 i traducció del 1990), actualment descatalogat.

Altres propostes relacionades

En el post Matemàtiques anant per carrer (1) del blog del PuntMat, es presenten activitats semblants a aquesta, algunes d'elles incorporen també  applets

Comentari final

En el post, "de quantes maneres puc pagar (descomposicions)" es tracta el mateix problema des d'una perspectiva molt allunyada de la divisibilitat, degut a que un dels "segells" té valor 1, per tant es pot aconseguir qualsevol nombre.

Cares acolorides II

Coloring Polyhedra with Four Colors

Si volem pintar poliedres de manera que en una mateixa aresta no coincideixen dues cares del mateix color i el poliedre és simplement connex ("si no té forats") tindrem prou amb quatre colors diferents. Aquest applet ens permet experimentar amb aquest interessant problema mitjançant relacions entre el poliedre i el seu desenvolupament:

http://demonstrations.wolfram.com/ColoringPolyhedraWithFourColors/ 

Minimalitat

Quants colors necessito com a mínim en cada cas?

• Si els poliedres són prismes o piràmides amb un polígon de n costats com a base
• amb n parell: necessitem 3 colors (un per a les bases i dos per a les cares laterals) 
• amb n senar: necessitem 4 colors (un per a les bases i tres per a les cares laterals) 
• Si els poliedres són bipiràmides amb un polígon de n costats com a "base"
• amb n parell: necessitem 2 colors
• amb n senar: necessitem 3 colors  
• Si els poliedres són antiprismes amb un polígon de n costats com a base, necessitem 2 colors (un per a la base "inferior" i tots els triangles que només tenen un vèrtex de contact amb ella i un per a la base "superior" i tots els altres triangles)   
• Si els poliedres són regulars
• el tetraedre i el dodecaedre necessiten 4 colors
• el cub i l’icosaedre en necessiten 3 
• l’octaedre, atenent a que és un antiprisma, només en necessita 2 (aquestes 5 solucions es poden veure aquí)
• Si els poliedres són regulars les solucions es poden veure aquí

Al mmaca ens proposen un repte en relació a l'icosaedre escapçat:

  

Cares arestes i vèrtexs (2a Part)

Mentre que en la primera part de Cares, arestes i vèrtexs ens centràvem en el comptatge d'aquests tres elements fonamentals dels poliedres, en aquesta segona part ens centrem en la identificació d'aquests elements en els desenvolupaments dels mateixos poliedres.

Arestes
Aquí presentem un parell d'applets proposats a la "Biblioteca de Manipulables Virtuales de Matemáticas" del blog Didactmatic del J. Garcia Moreno que permet treballar la identificació d'una mateixa aresta d'un poliedre en el seu desenvolupament pla. 

http://dl.dropboxusercontent.com/u/44162055/manipulables/geometria/desarrollos1.swf

http://dl.dropboxusercontent.com/u/44162055/manipulables/geometria/poliplatonicos.swf

Trobem que aquest tipus de tasques repten a l'usuari a visualitzar la relació entre el cos tridimensional i la seva representació plana en un sentit ample i particularment, treballa una habilitat indispensable si volem comptar cares, arestes i vèrtex d'un poliedre a partir del seu desenvolupament pla. En aquest sentit, ja havíem esmentat en un post del blog del Puntmat (Més sobre representacions planes d'objectes tridimensionals) els applets que presentem avui.

Cares

Aquí presentem alguns applets que focalitzen en la identificació de cares a partir de la seva posició relativa:

• un applet del projecte "Starter of the day" Transum que proposa petites activitats motivadores per començar les classes de matemàtiques 

http://www.transum.org/software/SW/Starter_of_the_day/Students/Hot/Dice_Numbers.asp 

• un parell d'applets del Wolfram Demostrations Project (un dels quals ja havíem esmentat al post Desenvolupament de poliedres del blog del Puntmat)

http://demonstrations.wolfram.com/FindTheOppositeFace/

http://demonstrations.wolfram.com/DeduceTheNetForADiesNet/

Cares aristas i vèrtexs (1a part)

Geometric solids

Un applet per comptar cares, arestes i vèrtexs i verificar la relació d'Euler.


En la posició "solid" permet observar el cos, acolorir-lo, moure'l, fer-lo transparent, etc. En la posició "net" apareix el desevolupament.

Per què aquest applet?

En posició "sòlid" el problema de comptar cares, arestes i vèrtexs es facilita gràcies a que els cossos es poden fer transparents i es pot moure la figura. De totes maneres, com que no aporta molt a la manipulació del poliedre en 3D, pot jugar el paper de simulador en cas de no disposar d'una col·lecció de cossos prou ampli per poder fer-ho.

En posició "net", comptar sobre el desenvolupament, és una activitat molt interessant ja que és fàcil comptar les cares però comptar arestes i vèrtexs implica tenir en compre com es plega el poliedre.

Comentaris

Juan Garcia Moreno proposa un altre applet amb la mateixa finalitat

Del mateix autor, un altre applet difícil però molt maco, que pensem que pot servir perquè us trenqueu el cap els docents i després trieu quins cal plantejar a alumnes als que els agradin els reptes.

I per finalitzar un vídeo-qüestionari sobre el tema

També trobareu qüestionaris d'aquest tipus als diferents nivells de Faces, Edges and Vertices

Joc de detectius: seguint el residu

The remainders game
Un "joc de detectius" en el món de l'ensenyament de les Matemàtiques és aquell en el que es presenta el repte d'endevinar un objecte matemàtic "amagat" a partir de pistes, que porta als alumnes a fer un treball sistemàtic de "filtre" per trobar l'objecte buscat.  

Exemples de propostes de jocs de detectius per als més petits
(Cerezo, A., Calvo, C. & Barba, D., 2013, El bloc de MATES. Editorial Barcanova) 

The remainders game és un fantàstic applet que gira la truita: el nombre secret està entre 0 i 100 però en aquest cas és l'usuari el que ha de triar. entre una oferta amplia, quines pistes vol utilitzar. Totes les pistes són del mateix estil: dóna el residu de la divisió del nombre secret entre 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 o 9. Cal triar-ne una, veure que passa després una altra etc. El repte està en fer-ho en el mínim d'intents possible. Com menys pistes s'utilitzin més punts s'obtenen.

Preguntes clau

• Per quin nombre començaries a preguntar? (per exemple si comencem pel 6 traiem la mateixa informació que fent primer el 2 i després el 3?) 
• Per quina raó has proposat dividir per "n" en el pas ...
• Un company teu està en aquest moment del joc (veure imatge superior)  Pot saber el nombre? i si no quin pas faries posteriorment, perquè?

Comentaris

• Segons l'edat dels alumnes podem donar una graella del 100  per facilitar la tasca d'anar marcant els nombres que anem eliminant, Encara que si volem crear hàbits de treball hem de gestionar que se'n surtin utilitzant un paper en blanc.
• Des del punt de vista de la comunicació i la justificació del procés recomanaríem fer-los fer un informe d'una de les "partides" on expliqués els passos fets i es plantegi si hi havia un camí més curt

Joc de divisors

Factor Game

Joc de divisors (on convé saber trobar tots els divisors). En la seva primera versió, el tauler era fix i de l'1 al 30 que és una bona mida per fer el joc interessant. La seva última actualització permet triar la mida del tauler de joc, el que permet començar per taulers petits per anar familiaritzar-se amb les primeres estratègies

El primer jugador tria un nombre i guanya tants punts com el nombre que ha triat. i el segon jugador ha d'escriure tots els seus divisors i guanya tats punts com la seva suma. Si se'n deixa algun la màquina l'informa. Després es canvien les tornes. A mesura que els nombres són utilitzats queden marcats sobre el tauler i ja no es poden utilitzar més. Guanya qui suma més punts

 

Per què aquest applet?

• Per exercitar el càlcul de divisors d'un nombre, i motivar a buscar una estratègia de recerca que faci que no se'n deixin cap.
• Per aplicar les propietats dels nombres a l'estratègia a utilitzar per jugar: què es millor jugar un nombre primer, un de quadrat? en quin moment
• Per a parlar i utilitzar nombres abundants: la suma dels seus divisors propis és més petita que el nombre, deficients: la suma de divisors és inferior, o perfectes: la suma és la mateixa.

Informació al Puntmat

Tant a divisors i pensament exhaustiu, com a applets de divisibiltat, hi trobareu més informació sobre aquest applets i altres activitats relacionades amb el tema.

Preguntes clau

• Per quin nombre has de començar la partida, perquè?
• (en un moment de la partida) fer una foto de pantalla i justificar el nombre que has triat 
• Com ens ho podem fer per no deixar-se cap divisor?. Segurament dir els divisors "per parells" o "mirall" el 2 amb el 24 el 3 amb el 16 ... (en el cas del 48)

Informació complementària
Un altre applet amb un joc semblant a l'anterior pero més difícil

En l'applet següent s'han de tatxar tots els divisors del nombre indicat (53) o del resultant de canviar l'ordre de les seves xifres (35) cal triar quin és més interessant per a tu, tenint en compte que guanyaràs tants punts com la suma dels divisors tatxats. Per tant, en cada jugada l'estratègia òptima és enumerar tots els divisors dels dos nombres possibles i avaluar la seva suma. Val a dir que quan oblides tatxar algun divisor l'applet et renya!

buscar un número

Largest Even i Dozen
Són dos applets de la pàgina de l'nrich que responen a la filosofia de la pràctica productiva. El primer treballa aspectes de paritat (parells - senars) i el segon criteris de divisibilitat.

Largest Even

Un applet per ser portat a classes de cicle inicial o mitjà, i es tracta d'aconseguir el nombre més alt de dues xifres. El presentem a partir d'una seqüencia realitzada per un alumne.

• Es pot triar parell o senar, un cop triat "New dígit" genera un nombre d'una xifra. En el cas de la imatge  ha estat el 5
• L'usuari ha triat el 9 per construir el 95, que si bé és un nombre alt no és parell

http://nrich.maths.org/7431

L'usuari rectifica i canvia l'orde posant el 59, que tampoc és parell

Finalment troba la solució demanada

 Per què aquest applet?

• És una molt bona activitat de pràctica productiva ja que el seu objectiu és trobar el nombre més gran, però s'està treballant paral·lelament la idea de parell i senar
• Es pot anar més enllà plantejant que donin instruccions a un robot perquè resolgui de manera correcte aquest tipus de situacions: La tercera pregunta clau planteja el que volem dir

Preguntes clau

• Si el nombre es que genera es parell i has d'aconseguir el parell més gran quin nombre entraries? què faries després, com els ordenaries?
• I en cas que el nombre que genera sigui senar?
• Sabries escriure les instruccions perquè un robot pogués sortir-se'n sempre ?

Dozens
Amb la mateixa idea trobem un altre applet per a cicle superior de Primària i ESO, en aquest cas el que es treballa es divisibilitat

 http://nrich.maths.org/559

• Triar el nombre sobre el que buscar els seus múltiples, les opcions són 2,3,4 i 6.
• Després l'applet genera dues xifres 
• Cal trobar el nombre de tres xifres més gran possible que sigui múltiple del triat.

Comentaris
Un cop conegut el joc, podem proposar una activitat: jugar un altre cop i demanar que redactin el procés que han seguit per a triar el nombre. Amb el 4 i el 6 les situacions que es creen poden ser interessants.
Per exemple podríem plantejar la situació col·lectivament en pantalla,  que els alumnes treballant per grups ho resolguin i finalment comprovar les diferents propostes en pantalla de manera col·lectiva

Tot i així es perd la interactivitat i és un treball "dinàmicament" completament diferent al que es produeix quan es fa amb l'applet. Depen del vostre objectiu triareu una opció o l'altre.